Так как мать никто не будет ждать

Элементы произвольного треугольника ABC обычно обозначаются так:
BC, CA, AB — стороны;
a, b, c — их длины;
α, β, γ — величины противолежащих углов;
ha, ma, la — высота, медиана и биссектриса, выходящие из вершины A;
R — радиус описанной окружности,
r — радиус вписанной окружности;
S — площадь,
p — полупериметр.
Отметим, что в отдельных задачах обозначения могут отличаться от стандартных.

Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть
c2 = так как мать никто не будет ждать a2 + b2,
где c — гипотенуза треугольника.

Теорема 2. Для прямоугольного треугольника (рис. 1) верны следующие соотношения:
a = c cos β = c sin α = b tg α = b ctg β,

где c — гипотенуза треугольника.

Теорема 3. Пусть ca и cb — проекции катетов a и b прямоугольного треугольника на гипотенузу c, а h — высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу (рис. 2). Тогда справедливы следующие равенства:
h2 = ca∙cb, a2 = c∙ca, b2 = c∙cb.

Теорема 4 (теорема косинусов). Для произвольного треугольника справедлива формула
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.

Теорема 5. Около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центр этой окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам. Центр описанной окружности лежит внутри тре­угольника, если треугольник остроугольный; вне треугольника, если он тупоугольный; на середине гипотенузы, если он прямоугольный (рис. 3).

Теорема 6 (теорема синусов). Для произвольного треугольника (рис. 4) справедливы соотношения

Теорема 7. Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну (рис. 5).

Центр этой окружности есть точка пересечения биссектрис трех углов треугольника. Центр вписанной окружности лежит всегда внутри треугольника.

Теорема 8 (формулы для вычисления площади треугольника).

4

Последняя формула называется формулой Герона.

Теорема 9 (теорема о биссектрисе внутреннего угла).


Биссектриса внутреннего угла треугольника (рис. 6) делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника, то есть
b : c = x : y.

Теорема 10 (формула для вычисления длины биссектрисы) (см. рис. 6)


.

Теорема 11 (формула для вычисления длины биссектрисы).


Теорема 12. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке на отрезки, длины которых относятся как 2 : 1, считая от вершины (рис. 7).

Теорема 13 (формула для вычисления длины медианы).

Доказательства некоторых теорем

Доказательство теоремы 10. Построим треугольник ABC и проведем в нем биссектрису AD (рис. 8). Пусть CD = x и DB = y. Применим к треугольникам ABD и ACD теорему косинусов:


BD2 = AB2 + AD2 – 2∙AB∙AD∙cos ∠BAD;
CD2 = AC2 + AD2 – 2∙AC∙AD∙cos ∠CAD.

Или, что то же самое,


Выразим из каждого неравенства и приравняем полученные результаты:

Применив теперь к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла, получим, что

Отдельно преобразуем выражение cx2 – by2:


Последнее равенство верно в силу того, что Имеем далее:

Если c ≠ b, то, сократив обе части равенства на c – b, получим требуемую формулу; если же c = b, то данная теорема сводится к теореме Пифагора.

Доказательство теоремы 11. Построим тре­угольник ABC и проведем в нем биссектрису AD (см. рис. 8). Имеем:

С другой стороны,


Приравнивая полученные двумя способами значения площади треугольника ABC, имеем:

При этом мы использовали формулу

Доказательство теоремы 13. Построим треугольник ABC и проведем в нем медиану AA1 (см. рис. 7). Применим в треугольниках AA1B и AA1C теорему косинусов:

Или, что то же самое,


где ϕ = ∠AA1B. Так как cos (π – ϕ) = –cos ϕ, сложив последние два равенства, получим:

Решение задач

Задача 1. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса CL и медиана CM (рис. 9). Найти площадь треугольника ABC, если LM = a, CM = b.
Решение. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Поэтому AM = BM = b,
откуда AL = b – a, LB = b + a. Применим к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника:


Применив теперь к треугольнику ABC теорему Пифагора, получим:

откуда

А искомая площадь равна

Ответ:

Задача 2. В треугольнике ABC задана точка M на стороне AC, соединенная с вершиной B отрезком MB (рис. 10). Известно, что AM = 6, MC = 2, ∠ABM = 60°, ∠MBC = 30°. Найти площадь треугольника ABC.
Решение. Применим к треугольникам ABM и BCM теорему синусов:

Так как треугольник ABC прямоугольный, то Разделив равенство (1) на равенство (2), с учетом sin ∠AMB = sin ∠BMC находим, что откуда ∠ACB = 60°.
Значит, площадь треугольника ABC равна

Ответ:

Задача 3. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, углом B, равным 30°, и катетом CA = 1 проведена медиана CD. Кроме того, из точки D под углом 15° к гипотенузе проведена прямая, пересекающая отрезок BC в точке F (рис. 11). Найти площадь треугольника CDF.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC. В нем значит, BD = CD = 1.
Применим теперь к треугольнику BDF теорему синусов:

Далее, так как треугольник CDB равнобедренный, имеем:
∠DCB = ∠DBC = 30° ⇒
⇒ ∠CDB = 120° ⇒ ∠CDF = 105°.
Значит,

Найдем, чему равен sin 105°:

Таким образом,

Ответ:

Задача 4. В треугольник ABC, все стороны которого различны, биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке D (рис. 12). Известно, что AB – BD = a, AC + CD = b. Найти длину отрезка AD.


Решение. Обозначим длину отрезка BD через x,
а длину отрезка CD через y. Тогда AB = a + x,
AC = b – y. Применив к треугольнику ABC формулу для вычисления длины биссектрисы, получим:
AD2 = AB∙AC – BD∙CD =
= (a + x)(b – y) – xy = ab – ay + bx – 2xy. ()
Найдем значение этого выражения, воспользовавшись теоремой о биссектрисе внутреннего угла треугольника, примененной к треугольнику ABC:

Используя полученное равенство совместно с равенством (), находим, что AD2 = ab, откуда


Ответ:

Задача 5. В прямоугольном треугольнике меньший угол равен α. Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, делящая треугольник на две равновеликие части. Определить, в каком отношении эта прямая делит гипотенузу.
Решение. Пусть ∠A = α — меньший угол треугольника ABC, MK — данная прямая (рис. 13).

Ясно, что часть, содержащая точку A, является треугольником (а не четырехугольником). Далее, треугольники AKM и ABC подобны. По условию поэтому коэффициент подобия равен Значит, Из треугольника AKM находим, что AK = AM cos α. Следовательно,


Ответ:

Задача 6. В треугольнике ABC сторона AB имеет длину 3, высота CD, имеет длину Основание D высоты CD лежит на стороне AB, длина отрезка AD равна длине стороны BC (рис. 14). Найти длину стороны AC.

Решение. Пусть AD = x, BC = x, тогда BD = 3 – x.
Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику BCD, получим уравнение:

Применив теперь теорему Пифагора к треугольнику ACD:


Ответ:

Задача 7. В треугольнике ABC (рис. 15) длина стороны AC равна 3, угол BAC равен и радиус описанной окружности равен 2. Доказать, что площадь треугольника ABC меньше 3.

Решение. Применим к треугольнику ABC теорему синусов:

Имеем далее:

Предположим, что S∆ABC = 3. Тогда
S∆ABC = 3 ⇔ sin ∠ACB = 1 ⇔ ∠ACB = 90°.
Значит,

Но с другой стороны имеем:


Следовательно, предположение о том, что S∆ABC = 3, неверно, и, значит, S∆ABC < 3, что и требовалось доказать.

Задача 8. В треугольнике ABC медианы AE и BD, пересекаются под прямым углом (рис. 16). Длина стороны BC равна a. Найти длины других сторон треугольника ABC, если AE2 + BD2 = d2.

Решение. Пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Пусть OE = x и OD = y. Так как медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины, то OA = 2x и OB = 2y.
Условие AE2 + BD2 = d2 перепишем в виде
()

Из прямоугольного треугольника OBE и равенства применив теорему Пифагора, получим:
()
Далее, применив теорему Пифагора к треугольнику ABO, найдем, что

откуда Наконец, применив теорему Пифагора к треугольнику AOD, получим:

откуда
Ответ:

Задача 9. В треугольнике ABC биссектриса угла ABC пересекает сторону AC в точке K (рис. 17). Известно, что BC = 2, KC = 1, Найти площадь треугольника ABC.

Решение. Пусть AK = x. Тогда из теоремы о биссектрисе внутреннего угла, примененной к треугольнику ABC, следует, что

Применим к треугольнику ABC формулу для вычисления длины биссектрисы:


Значит, стороны треугольника ABC равны AB = 3, и BC = 2, а полупериметр этого треугольника равен Воспользуемся формулой Герона:

Ответ:

Задача 10. В треугольнике ABC длина стороны AC равна 5, сумма длин двух других сторон равна 7, косинус угла BAC равен (рис. 18). Найти площадь треугольника ABC.

Решение. Пусть AB = x, тогда BC = 7 – x. Применив к треугольнику ABC теорему косинусов, получим:

BC2 = AB2 + AC2 – 2∙AB∙AC∙cos ∠BAC ⇔

Следовательно, AB = 4, BC = 3. Так как
AB2 + BC2 = 42 + 32 = 52 = AC2, то по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник ABC — прямоугольный и ∠ABC = 90°. Поэтому

Ответ: 6.

Задача 11. Длины сторон AB, BC и AC треугольника ABC в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию (рис. 19). Найти отношение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A, к радиусу вписанной окружности.

Решение. Можем считать (применив, если нужно, подобие), что AB = 1. Пусть разность прогрессии равна d, тогда BC = 1 + d и AC = 1 + 2d.
Пусть h — длина высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A. Имеем равенство:

Ответ: 3.

Задача 12. В треугольник ABC с длиной стороны BC, равной 9, вписана окружность, касающаяся стороны BC в точке D (рис. 20). Известно, что AD = DC и косинус угла BCA равен Найти длину стороны AC.

Решение. Пусть K и M — точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB соответственно. Пусть KC = x, тогда AD = CD = x,
BD = BM = 9 – x (так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны). Пусть AM = y, тогда и AK = y.
Применив теорему косинусов к треугольнику ADC, получим:

AD2 = AC2 + CD2 – 2∙AC∙CD∙cos ∠ACD ⇔

Применим теперь теорему косинусов к тре­угольнику ABC:

Следовательно, AC = x + y = 4.
Ответ: 4.

Задачи для самостоятельного решения

С-1. В треугольнике ABC сторона BC равна a и угол BAC равен α, причем AB ≠ AC. Медианы, проведенные из вершин B и C к сторонам AC и AB, обратно пропорциональны этим сторонам. Найдите стороны AC и AB треугольника.
С-2. В треугольнике ABC биссектриса AK перпендикулярна медиане BM, а угол ABC равен 120°. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади описанного около этого треугольника круга.
С-3. В треугольнике ABC известны стороны
AB = 40 и BC = 35. Кроме того, угол BAC равен 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, где BD — биссектриса угла ABC.
С-4. В треугольнике ABC угол A прямой, AB = 1,
BC = 2. Биссектриса угла ABC пересекает сторону AC в точке L. Пусть Q — точка пересечения медиан треугольника ABC. Что больше: длина BL или длина BQ?
С-5. В треугольнике ABC Точка M лежит на стороне AB, точка O лежит на стороне BC, причем прямые MO и AC параллельны. Отрезок BM в 1,5 раза длиннее отрезка AM. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MO в точке P, лежащей между точками M и O, причем радиус окружности, описанной около треугольника AMP, равен Найдите длину стороны AC.
С-6. Внутри треугольника ABC взята точка K. Известно, что AK = 1, а величины углов AKC, ABK и KBC равны 120°, 15° и 15° соответственно. Найдите длину отрезка BK.

С-7. В прямоугольном треугольнике величина острого угла равна α, а радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен R. Найдите длину высоты треугольника, опущенной на гипотенузу.

С-8. Дан треугольник со сторонами 4, 8 и 9. Найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

С-9. Площадь треугольника ABC равна S, угол BAC равен α и AC = b. Найдите BC.

С-10. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AC точка D делит сторону BC в отношении 2 : 1, считая от вершины B, а точка E — середина стороны AB. Известно, что медиана CQ треугольника CED равна и DE равно Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

С-11. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на основание и боковую сторону, равны соответственно m и n. Найдите стороны треугольника.

С-12. Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника в точке пересечения с высотой, опущенной на гипотенузу, делится на отрезки, отношение длин которых равно 1 к считая от вершины. Найдите острые углы треугольника.

С-13. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а острый угол равен α. Найдите длину биссектрисы прямого угла.

С-14. В остроугольном треугольнике ABC дано, что BC = a, AC = b, F ACB = γ. Найдите высоту CD и угол ABC.

С-15. В треугольнике ABC биссектрисы BL и AE пересекаются в точке O. Известно, что AB =
= BL, периметр треугольника равен 28, BO = 2OL. Найдите AB.

С-16. В прямоугольном треугольнике ABC высота, опущенная на гипотенузу, равна а биссектриса прямого угла равна Найдите площадь треугольника ABC.

С-17. Середины высот треугольника лежат на одной прямой. Наибольшая сторона этого треугольника равна 10. Какое максимальное значение может принимать площадь треугольника?

С-18. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20, а диаметр описанной окружности равен 25. Найдите радиус вписанной окружности.

С-19. Известно, что расстояние от центра описанной окружности до стороны AB треугольника ABC равно половине радиуса этой окружности. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону AB, если она меньше а две другие стороны треугольника равны 2 и 3.

С-20. Вокруг треугольника MKH описана окружность радиуса R с центром в точке O. Длина стороны HM равна a. Известно, что HK2 – HM2 = HM2 – MK2. Найдите площадь треугольника OLK, где L — точка пересечения медиан тре­угольника MKH.

С-21. Среди треугольников KLM, у которых радиус описанной окружности равен 10, сторона KL равна 16, высота MH равна 3,9. Найдите угол KML того треугольника, медиана MN которого наименьшая.

С-22. В треугольнике ABC BC = AC = 12, AB = 6.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADC, где AD — биссектриса треугольника ABC.

С-23. В треугольнике ABC AB = c, AC = b, AD — биссектриса угла BAC. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная прямой AD и пересекающая прямую AC в точке E.
Найдите AE.

С-24. В остроугольном треугольнике ABC угол ACB равен 75°, а высота, опущенная из вершины этого угла, равна 1. Найдите радиус описанной окружности, если известно, что периметр тре-угольника ABC равен

Ответы:

 

Садовничий Ю.

Так как мать никто не будет ждать

так как мать никто не будет ждать
Элементы произвольного треугольника ABC обычно обозначаются так:
BC, CA, AB — стороны;
a, b, c — их длины;
α, β, γ — величины противолежащих углов;
ha, ma, la — высота, медиана и биссектриса, выходящие из вершины A;
R — радиус описанной окружности,
r — радиус вписанной окружности;
S — площадь,
p — полупериметр.
Отметим, что в отдельных задачах обозначения могут отличаться от стандартных.

Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть
c2 = a2 + b2,
где c — гипотенуза треугольника.

Теорема 2. Для прямоугольного треугольника (рис. 1) верны следующие соотношения:
a = c cos β = c sin α = b tg α = b ctg β,

где c — гипотенуза треугольника.

Теорема 3. Пусть ca и cb — проекции катетов a и b прямоугольного треугольника на гипотенузу c, а h — высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу (рис. 2). Тогда справедливы следующие равенства:
h2 = ca∙cb, a2 = c∙ca, b2 = c∙cb.

Теорема 4 (теорема косинусов). Для произвольного треугольника справедлива формула
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.

Теорема 5. Около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центр этой окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам. Центр описанной окружности лежит внутри тре­угольника, если треугольник остроугольный; вне треугольника, если он тупоугольный; на середине гипотенузы, если он прямоугольный (рис. 3).

Теорема 6 (теорема синусов). Для произвольного треугольника (рис. 4) справедливы соотношения

Теорема 7. Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну (рис. 5).

Центр этой окружности есть точка пересечения биссектрис трех углов треугольника. Центр вписанной окружности лежит всегда внутри треугольника.

Теорема 8 (формулы для вычисления площади треугольника).

4

Последняя формула называется формулой Герона.

Теорема 9 (теорема о биссектрисе внутреннего угла).


Биссектриса внутреннего угла треугольника (рис. 6) делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника, то есть
b : c = x : y.

Теорема 10 (формула для вычисления длины биссектрисы) (см. рис. 6)


.

Теорема 11 (формула для вычисления длины биссектрисы).


Теорема 12. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке на отрезки, длины которых относятся как 2 : 1, считая от вершины (рис. 7).

Теорема 13 (формула для вычисления длины медианы).

Доказательства некоторых теорем

Доказательство теоремы 10. Построим треугольник ABC и проведем в нем биссектрису AD (рис. 8). Пусть CD = x и DB = y. Применим к треугольникам ABD и ACD теорему косинусов:


BD2 = AB2 + AD2 – 2∙AB∙AD∙cos ∠BAD;
CD2 = AC2 + AD2 – 2∙AC∙AD∙cos ∠CAD.

Или, что то же самое,


Выразим из каждого неравенства и приравняем полученные результаты:

Применив теперь к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла, получим, что

Отдельно преобразуем выражение cx2 – by2:


Последнее равенство верно в силу того, что Имеем далее:

Если c ≠ b, то, сократив обе части равенства на c – b, получим требуемую формулу; если же c = b, то данная теорема сводится к теореме Пифагора.

Доказательство теоремы 11. Построим тре­угольник ABC и проведем в нем биссектрису AD (см. рис. 8). Имеем:

С другой стороны,


Приравнивая полученные двумя способами значения площади треугольника ABC, имеем:

При этом мы использовали формулу

Доказательство теоремы 13. Построим треугольник ABC и проведем в нем медиану AA1 (см. рис. 7). Применим в треугольниках AA1B и AA1C теорему косинусов:

Или, что то же самое,


где ϕ = ∠AA1B. Так как cos (π – ϕ) = –cos ϕ, сложив последние два равенства, получим:

Решение задач

Задача 1. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса CL и медиана CM (рис. 9). Найти площадь треугольника ABC, если LM = a, CM = b.
Решение. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Поэтому AM = BM = b,
откуда AL = b – a, LB = b + a. Применим к треугольнику ABC теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника:


Применив теперь к треугольнику ABC теорему Пифагора, получим:

откуда

А искомая площадь равна

Ответ:

Задача 2. В треугольнике ABC задана точка M на стороне AC, соединенная с вершиной B отрезком MB (рис. 10). Известно, что AM = 6, MC = 2, ∠ABM = 60°, ∠MBC = 30°. Найти площадь треугольника ABC.
Решение. Применим к треугольникам ABM и BCM теорему синусов:

Так как треугольник ABC прямоугольный, то Разделив равенство (1) на равенство (2), с учетом sin ∠AMB = sin ∠BMC находим, что откуда ∠ACB = 60°.
Значит, площадь треугольника ABC равна

Ответ:

Задача 3. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, углом B, равным 30°, и катетом CA = 1 проведена медиана CD. Кроме того, из точки D под углом 15° к гипотенузе проведена прямая, пересекающая отрезок BC в точке F (рис. 11). Найти площадь треугольника CDF.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC. В нем значит, BD = CD = 1.
Применим теперь к треугольнику BDF теорему синусов:

Далее, так как треугольник CDB равнобедренный, имеем:
∠DCB = ∠DBC = 30° ⇒
⇒ ∠CDB = 120° ⇒ ∠CDF = 105°.
Значит,

Найдем, чему равен sin 105°:

Таким образом,

Ответ:

Задача 4. В треугольник ABC, все стороны которого различны, биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке D (рис. 12). Известно, что AB – BD = a, AC + CD = b. Найти длину отрезка AD.


Решение. Обозначим длину отрезка BD через x,
а длину отрезка CD через y. Тогда AB = a + x,
AC = b – y. Применив к треугольнику ABC формулу для вычисления длины биссектрисы, получим:
AD2 = AB∙AC – BD∙CD =
= (a + x)(b – y) – xy = ab – ay + bx – 2xy. ()
Найдем значение этого выражения, воспользовавшись теоремой о биссектрисе внутреннего угла треугольника, примененной к треугольнику ABC:

Используя полученное равенство совместно с равенством (), находим, что AD2 = ab, откуда


Ответ:

Задача 5. В прямоугольном треугольнике меньший угол равен α. Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, делящая треугольник на две равновеликие части. Определить, в каком отношении эта прямая делит гипотенузу.
Решение. Пусть ∠A = α — меньший угол треугольника ABC, MK — данная прямая (рис. 13).

Ясно, что часть, содержащая точку A, является треугольником (а не четырехугольником). Далее, треугольники AKM и ABC подобны. По условию поэтому коэффициент подобия равен Значит, Из треугольника AKM находим, что AK = AM cos α. Следовательно,


Ответ:

Задача 6. В треугольнике ABC сторона AB имеет длину 3, высота CD, имеет длину Основание D высоты CD лежит на стороне AB, длина отрезка AD равна длине стороны BC (рис. 14). Найти длину стороны AC.

Решение. Пусть AD = x, BC = x, тогда BD = 3 – x.
Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику BCD, получим уравнение:

Применив теперь теорему Пифагора к треугольнику ACD:


Ответ:

Задача 7. В треугольнике ABC (рис. 15) длина стороны AC равна 3, угол BAC равен и радиус описанной окружности равен 2. Доказать, что площадь треугольника ABC меньше 3.

Решение. Применим к треугольнику ABC теорему синусов:

Имеем далее:

Предположим, что S∆ABC = 3. Тогда
S∆ABC = 3 ⇔ sin ∠ACB = 1 ⇔ ∠ACB = 90°.
Значит,

Но с другой стороны имеем:


Следовательно, предположение о том, что S∆ABC = 3, неверно, и, значит, S∆ABC < 3, что и требовалось доказать.

Задача 8. В треугольнике ABC медианы AE и BD, пересекаются под прямым углом (рис. 16). Длина стороны BC равна a. Найти длины других сторон треугольника ABC, если AE2 + BD2 = d2.

Решение. Пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Пусть OE = x и OD = y. Так как медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины, то OA = 2x и OB = 2y.
Условие AE2 + BD2 = d2 перепишем в виде
()

Из прямоугольного треугольника OBE и равенства применив теорему Пифагора, получим:
()
Далее, применив теорему Пифагора к треугольнику ABO, найдем, что

откуда Наконец, применив теорему Пифагора к треугольнику AOD, получим:

откуда
Ответ:

Задача 9. В треугольнике ABC биссектриса угла ABC пересекает сторону AC в точке K (рис. 17). Известно, что BC = 2, KC = 1, Найти площадь треугольника ABC.

Решение. Пусть AK = x. Тогда из теоремы о биссектрисе внутреннего угла, примененной к треугольнику ABC, следует, что

Применим к треугольнику ABC формулу для вычисления длины биссектрисы:


Значит, стороны треугольника ABC равны AB = 3, и BC = 2, а полупериметр этого треугольника равен Воспользуемся формулой Герона:

Ответ:

Задача 10. В треугольнике ABC длина стороны AC равна 5, сумма длин двух других сторон равна 7, косинус угла BAC равен (рис. 18). Найти площадь треугольника ABC.

Решение. Пусть AB = x, тогда BC = 7 – x. Применив к треугольнику ABC теорему косинусов, получим:

BC2 = AB2 + AC2 – 2∙AB∙AC∙cos ∠BAC ⇔

Следовательно, AB = 4, BC = 3. Так как
AB2 + BC2 = 42 + 32 = 52 = AC2, то по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник ABC — прямоугольный и ∠ABC = 90°. Поэтому

Ответ: 6.

Задача 11. Длины сторон AB, BC и AC треугольника ABC в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию (рис. 19). Найти отношение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A, к радиусу вписанной окружности.

Решение. Можем считать (применив, если нужно, подобие), что AB = 1. Пусть разность прогрессии равна d, тогда BC = 1 + d и AC = 1 + 2d.
Пусть h — длина высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A. Имеем равенство:

Ответ: 3.

Задача 12. В треугольник ABC с длиной стороны BC, равной 9, вписана окружность, касающаяся стороны BC в точке D (рис. 20). Известно, что AD = DC и косинус угла BCA равен Найти длину стороны AC.

Решение. Пусть K и M — точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB соответственно. Пусть KC = x, тогда AD = CD = x,
BD = BM = 9 – x (так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны). Пусть AM = y, тогда и AK = y.
Применив теорему косинусов к треугольнику ADC, получим:

AD2 = AC2 + CD2 – 2∙AC∙CD∙cos ∠ACD ⇔

Применим теперь теорему косинусов к тре­угольнику ABC:

Следовательно, AC = x + y = 4.
Ответ: 4.

Задачи для самостоятельного решения

С-1. В треугольнике ABC сторона BC равна a и угол BAC равен α, причем AB ≠ AC. Медианы, проведенные из вершин B и C к сторонам AC и AB, обратно пропорциональны этим сторонам. Найдите стороны AC и AB треугольника.
С-2. В треугольнике ABC биссектриса AK перпендикулярна медиане BM, а угол ABC равен 120°. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади описанного около этого треугольника круга.
С-3. В треугольнике ABC известны стороны
AB = 40 и BC = 35. Кроме того, угол BAC равен 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, где BD — биссектриса угла ABC.
С-4. В треугольнике ABC угол A прямой, AB = 1,
BC = 2. Биссектриса угла ABC пересекает сторону AC в точке L. Пусть Q — точка пересечения медиан треугольника ABC. Что больше: длина BL или длина BQ?
С-5. В треугольнике ABC Точка M лежит на стороне AB, точка O лежит на стороне BC, причем прямые MO и AC параллельны. Отрезок BM в 1,5 раза длиннее отрезка AM. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MO в точке P, лежащей между точками M и O, причем радиус окружности, описанной около треугольника AMP, равен Найдите длину стороны AC.
С-6. Внутри треугольника ABC взята точка K. Известно, что AK = 1, а величины углов AKC, ABK и KBC равны 120°, 15° и 15° соответственно. Найдите длину отрезка BK.

С-7. В прямоугольном треугольнике величина острого угла равна α, а радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен R. Найдите длину высоты треугольника, опущенной на гипотенузу.

С-8. Дан треугольник со сторонами 4, 8 и 9. Найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

С-9. Площадь треугольника ABC равна S, угол BAC равен α и AC = b. Найдите BC.

С-10. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AC точка D делит сторону BC в отношении 2 : 1, считая от вершины B, а точка E — середина стороны AB. Известно, что медиана CQ треугольника CED равна и DE равно Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

С-11. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на основание и боковую сторону, равны соответственно m и n. Найдите стороны треугольника.

С-12. Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника в точке пересечения с высотой, опущенной на гипотенузу, делится на отрезки, отношение длин которых равно 1 к считая от вершины. Найдите острые углы треугольника.

С-13. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а острый угол равен α. Найдите длину биссектрисы прямого угла.

С-14. В остроугольном треугольнике ABC дано, что BC = a, AC = b, F ACB = γ. Найдите высоту CD и угол ABC.

С-15. В треугольнике ABC биссектрисы BL и AE пересекаются в точке O. Известно, что AB =
= BL, периметр треугольника равен 28, BO = 2OL. Найдите AB.

С-16. В прямоугольном треугольнике ABC высота, опущенная на гипотенузу, равна а биссектриса прямого угла равна Найдите площадь треугольника ABC.

С-17. Середины высот треугольника лежат на одной прямой. Наибольшая сторона этого треугольника равна 10. Какое максимальное значение может принимать площадь треугольника?

С-18. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20, а диаметр описанной окружности равен 25. Найдите радиус вписанной окружности.

С-19. Известно, что расстояние от центра описанной окружности до стороны AB треугольника ABC равно половине радиуса этой окружности. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону AB, если она меньше а две другие стороны треугольника равны 2 и 3.

С-20. Вокруг треугольника MKH описана окружность радиуса R с центром в точке O. Длина стороны HM равна a. Известно, что HK2 – HM2 = HM2 – MK2. Найдите площадь треугольника OLK, где L — точка пересечения медиан тре­угольника MKH.

С-21. Среди треугольников KLM, у которых радиус описанной окружности равен 10, сторона KL равна 16, высота MH равна 3,9. Найдите угол KML того треугольника, медиана MN которого наименьшая.

С-22. В треугольнике ABC BC = AC = 12, AB = 6.
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADC, где AD — биссектриса треугольника ABC.

С-23. В треугольнике ABC AB = c, AC = b, AD — биссектриса угла BAC. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная прямой AD и пересекающая прямую AC в точке E.
Найдите AE.

С-24. В остроугольном треугольнике ABC угол ACB равен 75°, а высота, опущенная из вершины этого угла, равна 1. Найдите радиус описанной окружности, если известно, что периметр тре-угольника ABC равен

Ответы:

 

Садовничий Ю.

Что сделать с молокой от селедки

Фото: ekaterina.pravoverie.ru Казалось бы, это аксиома: мать никто не заменит. С детства мне врезался в память рассказ о маленьком М.Ю. Лермонтове, который в три года лишился матери и с тех пор тосковал. Невосполнимая ранняя.

Так как мать никто не будет ждать

Ждать умеет только мать слушать онлайн

Так как мать никто не будет ждать

Мать никто не заменит / Православие. Ru

Так как мать никто не будет ждать

Morrowind Прохождение Храма ЗАВЕРШЕНИЕ. Эбонитовая

Так как мать никто не будет ждать

«Бог простит, а я нет причины самых сильных обид в

Так как мать никто не будет ждать

Бесплатная доставка пиццы, роллов и бургеров в г

Так как мать никто не будет ждать

Боли в пищеводе Что делать, если болит пищевод? Лечение

Так как мать никто не будет ждать

Видеокарта Asus GeForce GTX 1050 Ti Expedition EX

Так как мать никто не будет ждать

Все заговоры Тысяча заговоров

Так как мать никто не будет ждать

Деформация ногтей - причины, симптомы, диагностика и лечение

Так как мать никто не будет ждать

Если вы забыли идентификатор Apple ID - Служба поддержки

Так как мать никто не будет ждать

Как сделать письменный стол своими руками: размеры, чертежи, фото, видео