Что можно сделать из старой майке


Значительная доля материала, касающегося производных и исследования функций, традиционно относится к школьной программе, и данная статья не является исключением из правила. Сегодня мы потренируемся в нахождении нулей и интервалов знакопостоянства функции, а также подробно разберём метод интервалов, который можно сравнить с надёжной арматурой в стенах рассматриваемой темы. Если же проект вашего здания находится на стадии котлована, пожалуйста, начните с вводного урока о графиках функций. Кроме того, желательно ознакомиться со статьями Область определения функции, Асимптоты графика, и, по существу, информация этой странички – логическое продолжение. Материал, естественно, будет полезен и старшеклассникам.

Открываем карты:

Что такое нули функции и что такое интервалы знакопостоянства функции?

Рассмотрим некоторую функцию .

1) Точки, в которых график  пересекает ось , называют нулями функции. Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение , то есть найти те значения «икс», при которых функция обращается в ноль. В следующем условном примере нули функции  обозначены красными точками:
Нули функции и интервалы знакопостоянства функции
Очевидно, что . Заметьте, что точка  не является нулём функции, поскольку не входит в её область определения.

2) Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.

В нашем случае функция положительна на интервалах , то есть для любого значения «икс» любого из перечисленных интервалов справедливо строгое неравенство . Или совсем просто – график функции на таких интервалах расположен ВЫШЕ оси абсцисс.

На интервалах  функция отрицательна, то есть любому значению «икс», принадлежащему этим интервалам соответствует строгое неравенство , и график функции расположен НИЖЕ оси .

Компактная запись перечисленных фактов выглядит так:
, если ;
, если .
Строки можно переставить местами, это не имеет принципиального значения, лично я привык сначала указывать интервалы, на которых функция положительна.

Что можно сказать об интервале ? Только то, что функция не определена на данном интервале, и, разумеется, о знакопостоянстве речи не идёт вообще.

Примечание: в математике более широким является термин «промежуток», который включает в себя не только интервал, но и полуинтервал либо отрезок. Полуинтервалы и отрезки знакопостоянства часто встречаются у кусочно-заданных функций. В частности, если на вышеуказанном чертеже «закрасить» точку с абсциссой , то получим промежуток (в данном случае – полуинтервал) знакопостоянства . Однако далее будут рассматриваться «обычные» функции, обладающие только интервалами знакопостоянства, поэтому в термине «промежуток знакопостоянства» нет особой нужды.

Как найти интервалы знакопостоянства функции?

Алгоритм метода интервалов прост и бесхитростен:

1) Находим область определения функции.

2) Находим нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс).

3) В большинстве заданий потребуется чертёж. Чертим ось  и откладываем на ней точки разрыва (если они есть), а также нули функции (если они есть). Определяем знаки функции на интервалах, которые входят в область определения.

Пункты можете законспектировать, впрочем, алгоритм очень быстро запомнит даже полный чайник. Тут всё прозрачно и логично.

Начнём с распространённой квадратичной функции:

Пример 1

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, точки разрыва и «нехорошие» промежутки отсутствуют.

2) Найдём нули функции. Для этого нужно решить уравнение . В данном случае:

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два действительных корня:

3) Откладываем все найденные точки на числовой оси:
Нули функции располагаются на оси OX
В статье Область определения функции я выполнял подобные чертежи схематически, но сейчас для бОльшей наглядности изложения буду их масштабировать (за исключением клинических случаев). На том же уроке мы узнали, как выяснить знаки функции на интервалах – можно проанализировать расположение параболы. В данном случае ветви параболы направлены вверх, следовательно, на интервалах  функция будет положительна: . Попа параболы сидит на интервале  ниже оси абсцисс, и функция здесь отрицательна: .

Хорошо, параболу многие читатели представляют. Но что делать, если функция более сложная? Например, .  Заметная часть аудитории уже затруднится сказать, как принципиально выглядит график данной функции. И это, так скажем, ещё только минимальное усложнение.

Однако и в простых и в сложных случаях работает универсальный способ:

Рассмотрим функцию  непрерывную на некотором интервале , график которой не пересекает ось  на этом интервале. Тогда:

– если функция  положительна в какой-либо точке интервала , то она положительна и ВО ВСЕХ точках данного интервала;

– если функция  отрицательна в какой-либо точке интервала , то она отрицательна и ВО ВСЕХ точках данного интервала.

Включите немного воображения: если на интервале нет точек разрыва, и график не пересекает ось абсцисс, то он не может по мановению волшебной палочки перескочить из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость (или наоборот). Поэтому знак функции на таком интервале легко определить по одной-единственной точке.

Проведём небольшой эксперимент. Представьте, что вы совсем не знаете, как выглядит график функции  и вам необходимо найти её интервалы знакопостоянства (кстати, если действительно не знаете, таки начертите многострадальную примадонну =)).

1) Берём произвольную точку интервала . С вычислительной точки зрения проще всего взять . Подставляем её в нашу функцию:

Следовательно, функция положительна и в каждой точке интервала .

2) Берём произвольную точку интервала , здесь по удобству вне конкуренции ноль. Снова выполняем что можно сделать из старой майке подстановку:

А, значит, функция отрицательна и в каждой точке интервала .

3) И, наконец, обрабатываем наиболее простую точку интервала :

Поэтому функция положительна в каждой точке интервала .

Выполненные подстановки, вычисления почти всегда нетрудно выполнить устно, но в крайнем случае существует и черновик.

Фиксируем полученные результаты на числовой оси:
Интервалы знакопостоянства функции
Да, вы не имеете никаких представлений о параболе, но совершенно точно можете сказать, что на интервалах  график функции   расположен ВЫШЕ оси , а на интервале  – НИЖЕ данной оси.

Ответ:
, если ;
, если .

Точно так же решается целый спектр задач-«сателлитов», вот некоторые из них:

Решить квадратичное неравенство .

Проводим аналогичные действия и даём ответ .

Решить квадратичное неравенство .

Проводим аналогичные действия и даём ответ .

Найти область определения функции .

Проводим аналогичные действия, даём ответ .

И т.п.

Метод интервалов работает в самых примитивных случаях, например, для функции . Здесь прямая пересекает ось абсцисс в точке , при этом слева от данной точки  (график ниже оси ), а справа  (график выше оси ). Тем не менее, для тех, кто в танке, задача разрешима и методом интервалов.

Может ли функция быть положительно или отрицательной на всей числовой прямой? Конечно, в статье Область определения функции мы рассмотрели типовые примеры. В частности выяснили, что  (парабола, полностью лежащая в верхней полуплоскости). Метод интервалов проходит и тут! Рассматриваем единственный интервал , берём из него самую удобную точку  и выполняем подстановку: . А значит, функция положительна и в каждой точке интервала .

Перейдём к кубическим многочленам:

Пример 2

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение: снова придерживаемся алгоритма:

1) Функция определена на всей числовой прямой.

2) Найдём нули функции, то есть решим уравнение . Для этого выполним разложение на множители:

Таким образом, нули функции: .

3) Откладываем найденные значения на числовой прямой:
Откладываем на оси абсцисс нули функции
Теперь в каждом из четырёх полученных интервалов берём наиболее простую точку и находим значения функции в данных точках:

Таким образом:
Определяем знаки функции методом интервалов
Ответ:
, если ;
, если .

Вы можете не знать, как выглядит график функции , но уже, по крайне мере, понятно, где он выше оси , а где ниже.

Кубическая функция настолько распространена, что не удержусь от полного чертежа «молнии»:
График кубического многочлена

Казалось бы, решение можно упростить: взять левый интервал , выяснить, что на нём функция отрицательна, а дальше знаки будут чередоваться – «плюс», «минус», «плюс». Знакочередование бывает часто, но…

ЗНАКИ ЧЕРЕДУЮТСЯ ДАЛЕКО НЕ ВСЕГДА

Поэтому не ленимся – ТЕРПЕЛИВО рассматриваем КАЖДЫЙ интервал: из КАЖДОГО  интервала берём наиболее выгодную точку и выясняем знак функции в данной точке.

Вот простой пример, когда интервала два, но знакочередования нет: . Экспонента всегда положительна , квадрат неотрицателен , поэтому вся функция неотрицательна: , очевидно, достигая нуля в единственной точке . Такого решения будет вполне достаточно. Не обязательно чертить координатную ось! Обратите внимание, здесь есть тонкость при записи ответа:
, если .
То есть, функция положительна везде, кроме точки ноль.

Но формально можно использовать метод интервалов, который приведёт нас к такому же результату:
Функция неотрицательна на всей числовой прямой
Если честно, не помню, как выглядит чертёж, однако совершенно точно можно сказать, что график данной функции лежит в верхней полуплоскости и касается оси абсцисс в точке .

Или парабола, касающаяся оси, например: . Такая же история. Кстати, если вы внимательно изучили геометрические преобразования графиков, то сразу поймёте, как расположена данная парабола.

Следует отметить, что ситуация касания графика оси не единственна, в ряде случаев  функция не меняет знак при переходе через точку разрыва. Хороший пример встретился в статье Непрерывность функции: .

Пример 3

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Это пример для самостоятельного решения. После того, как определите знаки на интервалах, попытайтесь представить, как выглядит данная «молния». Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Функции с многочленами встречаются очень часто, поэтому имеет смысл рассмотреть ещё пару экземпляров:

Пример 4

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение:

1) Функция определена на всей числовой прямой.

2) Находим нули функции:

Таким образом, нули функции: .

3) Откладываем данные значения на оси абсцисс:
Нули многочлена 4-ой степени
Определим знаки функции на полученных интервалах:

Таким образом:
Знаки на интервалах не обязаны чередоваться
Ответ:
, если ;
, если .

Читатели с высоким и средним уровнем подготовки могут укоротить процесс решения, используя чётность/нечётность функций, чайникам же рекомендую не торопиться и тщательно прорабатывать каждый пункт решения.

Функция-многочлен 4-й степени тоже достойна полного графика:
График многочлена четвёртой степени

Собрат для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти интервалы знакопостоянства функции.

В ходе выполнения задания потребуется решить так называемое биквадратное уравнение, которое также рассматривается в школьном курсе математики. В данном примере необходимо провести замену , разобраться с уравнением , найти корни  и на финише из равенств  получить 4 корня. Полное решение и ответ в конце урока.

Перейдём к обширной группе функций, у которых есть точки разрыва:

Пример 6

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение: вот здесь начинает в полную силу работать пункт №1 алгоритма:

1) Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки , которая обращает знаменатель в ноль.

2) Находим точки пресечения графика с осью  (нули функции):

Знаменатель нулевым быть не может, поэтому приравниваем к нулю числитель и решаем уравнение счастливого первоклассника:

3) Откладываем на оси абсцисс ВСЕ найденные точки, при этом выкалываем точку , так как она не входит  в область определения функции:
На оси OX необходимо отложить ВСЕ точки
Определим знаки функции на полученных интервалах:

В результате:
Находимо интервалы знакопостоянства, точка разрыва не меняет алгоритма
Ответ:
, если ;
, если .

Чем отличается данный пример от всех предыдущих? Да ничем особенным.

Напоминаю, что практически так же решается ряд смежных задач, например:

Решить неравенство
Ответ:

Решить неравенство
Ответ:

Найти область определения функции
Ответ:

И т.д.

Короткое разминочное задание для самостоятельного решения:

Пример 7

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Кстати, подобные вещи вполне реально решить мысленно! Попытайтесь найти интервалы знакопостоянства «в уме», тем более, вы ничем не рискуете – в конце урока есть готовый образец.

Рассмотрим более навороченные дробно-рациональные функции:

Пример 8

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение: далее пункты алгоритма нумеровать не будем.

Находим область определения функции. Проверим, обращается ли знаменатель в ноль:

Перепишем квадратное уравнение в привычном виде:

И для удобства сменим знаки у каждого слагаемого:

!!! Внимание: в САМОЙ ФУНКЦИИ так делать НЕЛЬЗЯ! В ней знак «минус» не пропадает: .

Дискриминант больше нуля, значит, уравнение имеет два действительных корня и в область определения не войдут две точки:

Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс: . Нулевым может быть только числитель, поэтому рассматриваем уравнение . Решение можно провести через дискриминант, однако нетрудно заметить, что у нас квадрат разности:

Таким образом, функция обращается в ноль в единственной точке:

Используя уже наработанный алгоритм, определим знаки функции на полученных интервалах:
Интервалы знакопостоянства дробно-рациональной функции
Ответ:
, если ;
, если .

Как выглядит график функции, знают немногие, но совершенно точно можно сказать, что на интервалах  он расположен ВЫШЕ оси , а на интервалах  – НИЖЕ данной оси. В точке  график, кстати, только касается её.

Пример 9

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Это пример для самостоятельного решения.

Заключительные примеры посвящены функциям, в которые входит натуральный логарифм:

Пример 10

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Просто и со вкусом.

Решение: функция определена и непрерывна на интервале . Найдём  точки пересечения графика с осью абсцисс:

Нулю может быть равен только числитель:

Согласно определению логарифма (которое нужно бы уже хорошо усвоить):

Отметим найденные точки на числовой прямой:
Анализ функции с корнем и логарифмом
На промежутке  функция не определена вообще. Об этом можно сделать пометку на чертеже либо просто оставить полуинтервал без внимания. Я обычно не ставлю никаких знаков.

Определим знаки на интервалах, которые входят в область определения функции:

Таким образом:
В область определения не входит целый промежуток, там нельзя определить знак функции
Ответ:
, если ;
, если .

На практике под логарифмом часто находится квадратный дву- или трёхчлен. Пожалуйста, ВНИМАТЕЛЬНО изучите оставшиеся примеры, в которых метод интервалов используется ДВАЖДЫ: первый раз для нахождения области определения, а второй раз для нахождения интервалов знакопостоянства.

Пример 11

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение: сначала найдём область определения функции. Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

Квадратичное неравенство решим методом интервалов. Проверим, существуют ли действительные корни соответствующего уравнения:

Да, уравнение имеет два действительных перца. Не нужно удивляться, что дискриминант получился «плохой», это довольно распространённый инцидент в ходе исследовании функций. Невозмутимо находим корни:

Откладываем найденные точки на числовой прямой. Их следует выколоть, поскольку неравенство строгое. Далее стандартно из каждого интервала выбираем наиболее простую точку, и определяем знаки функции  на полученных интервалах:
Находим область определения функции методом интервалов
Таким образом, область определения:

Что теперь? Теперь ЗАБЫВАЕМ про найденные знаки и интервалы знакопостоянства. Самый важный факт состоит в том, что отрезок   не входит в область определения функции .

На втором шаге находим точки пересечения графика с осью абсцисс (нули функции):

Решаем ещё одно квадратное уравнение:

Снова используем метод интервалов. Откладываем на числовой прямой ВСЕ найдённые ранее точки:
Всё, что накоплено за годы долгого труда
Тесновато получилось, но что делать, зато масштаб выдержан.

Определяем знаки функции на интервалах, при этом не забываем, что отрезок посередине не входит в область определения, и возиться с ним не надо! Но от этого, увы, не легче, так как подстановка будет брутальной. Придётся тыкать по клавишам калькулятора:

Таким образом:
Находим интервалы знакопостоянства функции тем же методом интервалов
Ответ:
, если ;
, если .

Что можно сказать о графике функции ? На отрезке  его не существует вообще, на крайних интервалах он расположен выше оси , на маленьких интервалах – ниже данной оси, точки пересечения с осью: .

Пример 12

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Это пример для самостоятельного изучения. На первом шаге решение можно ускорить – неравенство  значительно выгоднее решить аналитически, нежели использовать метод интервалов. Данный способ подробно рассмотрен на уроке Область определения функции.

Вот, пожалуй, и все основные задания по теме, которые встречаются на практике в ходе полного исследования функции. Хочется привести примеры сложнее, но они будут в известной степени надуманы.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение:
1) Функция определена на всей числовой прямой.
2) Найдём нули функции:

Таким образом: .
3) Определим знаки функции методом интервалов:

Ответ:
, если ;
, если .

Пример 5: Решение:
1) Функция определена на всей числовой прямой
2) Найдём нули функции:

Проведём замену:

3) Выполним чертёж и определим знаки функции на найденных интервалах:

Ответ:
, если ;
, если .

Пример 7: Решение:
1) Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки .
2) Найдём нули функции:

3) Определим знаки функции на полученных интервалах:

Ответ:
, если ;
, если .

Пример 9: Решение: точки  не входят в область определения функции.
График функции не пересекает ось , т.к.
Методом интервалов определим знаки функции:

Ответ:
, если ;
, если .

Пример 12: Решение: найдём область определения:

Таким образом,
Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс:

Определим знаки функции на полученных интервалах:

Ответ:
, если ;
, если .

Автор: Емелин Александр


Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Что можно сделать из старой майке


Значительная доля материала, касающегося производных и исследования функций, традиционно относится к школьной программе, и данная статья не является исключением из правила. Сегодня мы потренируемся в нахождении нулей и интервалов знакопостоянства функции, а также подробно разберём метод интервалов, который можно сравнить с надёжной арматурой в стенах рассматриваемой темы. Если же проект вашего здания находится на стадии котлована, пожалуйста, начните с вводного урока о графиках функций. Кроме того, желательно ознакомиться со статьями Область определения функции, Асимптоты графика, и, по существу, информация этой странички – логическое продолжение. Материал, естественно, будет полезен и старшеклассникам.

Открываем карты:

Что такое нули функции и что такое интервалы знакопостоянства функции?

Рассмотрим некоторую функцию .

1) Точки, в которых график  пересекает ось , называют нулями функции. Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение , то есть найти те значения «икс», при которых функция обращается в ноль. В следующем условном примере нули функции  обозначены красными точками:
Нули функции и интервалы знакопостоянства функции
Очевидно, что . Заметьте, что точка  не является нулём функции, поскольку не входит в её область определения.

2) Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.

В нашем случае функция положительна на интервалах , то есть для любого значения «икс» любого из перечисленных интервалов справедливо строгое неравенство . Или совсем просто – график функции на таких интервалах расположен ВЫШЕ оси абсцисс.

На интервалах  функция отрицательна, то есть любому значению «икс», принадлежащему этим интервалам соответствует строгое неравенство , и график функции расположен НИЖЕ оси .

Компактная запись перечисленных фактов выглядит так:
, если ;
, если .
Строки можно переставить местами, это не имеет принципиального значения, лично я привык сначала указывать интервалы, на которых функция положительна.

Что можно сказать об интервале ? Только то, что функция не определена на данном интервале, и, разумеется, о знакопостоянстве речи не идёт вообще.

Примечание: в математике более широким является термин «промежуток», который включает в себя не только интервал, но и полуинтервал либо отрезок. Полуинтервалы и отрезки знакопостоянства часто встречаются у кусочно-заданных функций. В частности, если на вышеуказанном чертеже «закрасить» точку с абсциссой , то получим промежуток (в данном случае – полуинтервал) знакопостоянства . Однако далее будут рассматриваться «обычные» функции, обладающие только интервалами знакопостоянства, поэтому в термине «промежуток знакопостоянства» нет особой нужды.

Как найти интервалы знакопостоянства функции?

Алгоритм метода интервалов прост и бесхитростен:

1) Находим область определения функции.

2) Находим нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс).

3) В большинстве заданий потребуется чертёж. Чертим ось  и откладываем на ней точки разрыва (если они есть), а также нули функции (если они есть). Определяем знаки функции на интервалах, которые входят в область определения.

Пункты можете законспектировать, впрочем, алгоритм очень быстро запомнит даже полный чайник. Тут всё прозрачно и логично.

Начнём с распространённой квадратичной функции:

Пример 1

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, точки разрыва и «нехорошие» промежутки отсутствуют.

2) Найдём нули функции. Для этого нужно решить уравнение . В данном случае:

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два действительных корня:

3) Откладываем все найденные точки на числовой оси:
Нули функции располагаются на оси OX
В статье Область определения функции я выполнял подобные чертежи схематически, но сейчас для бОльшей наглядности изложения буду их масштабировать (за исключением клинических случаев). На том же уроке мы узнали, как выяснить знаки функции на интервалах – можно проанализировать расположение параболы. В данном случае ветви параболы направлены вверх, следовательно, на интервалах  функция будет положительна: . Попа параболы сидит на интервале  ниже оси абсцисс, и функция здесь отрицательна: .

Хорошо, параболу многие читатели представляют. Но что делать, если функция более сложная? Например, .  Заметная часть аудитории уже затруднится сказать, как принципиально выглядит график данной функции. И это, так скажем, ещё только минимальное усложнение.

Однако и в простых и в сложных случаях работает универсальный способ:

Рассмотрим функцию  непрерывную на некотором интервале , график которой не пересекает ось  на этом интервале. Тогда:

– если функция  положительна в какой-либо точке интервала , то она положительна и ВО ВСЕХ точках данного интервала;

– если функция  отрицательна в какой-либо точке интервала , то она отрицательна и ВО ВСЕХ точках данного интервала.

Включите немного воображения: если на интервале нет точек разрыва, и график не пересекает ось абсцисс, то он не может по мановению волшебной палочки перескочить из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость (или наоборот). Поэтому знак функции на таком интервале легко определить по одной-единственной точке.

Проведём небольшой эксперимент. Представьте, что вы совсем не знаете, как выглядит график функции  и вам необходимо найти её интервалы знакопостоянства (кстати, если действительно не знаете, таки начертите многострадальную примадонну =)).

1) Берём произвольную точку интервала . С вычислительной точки зрения проще всего взять . Подставляем её в нашу функцию:

Следовательно, функция положительна и в каждой точке интервала .

2) Берём произвольную точку интервала , здесь по удобству вне конкуренции ноль. Снова выполняем подстановку:

А, значит, функция отрицательна и в каждой точке интервала .

3) И, наконец, обрабатываем наиболее простую точку интервала :

Поэтому функция положительна в каждой точке интервала .

Выполненные подстановки, вычисления почти всегда нетрудно выполнить устно, но в крайнем случае существует и черновик.

Фиксируем полученные результаты на числовой оси:
Интервалы знакопостоянства функции
Да, вы не имеете никаких представлений о параболе, но совершенно точно можете сказать, что на интервалах  график функции   расположен ВЫШЕ оси , а на интервале  – НИЖЕ данной оси.

Ответ:
, если ;
, если .

Точно так же решается целый спектр задач-«сателлитов», вот некоторые из них:

Решить квадратичное неравенство .

Проводим аналогичные действия и даём ответ .

Решить квадратичное неравенство .

Проводим аналогичные действия и даём ответ .

Найти область определения функции .

Проводим аналогичные действия, даём ответ .

И т.п.

Метод интервалов работает в самых примитивных случаях, например, для функции . Здесь прямая пересекает ось абсцисс в точке , при этом слева от данной точки  (график ниже оси ), а справа  (график выше оси ). Тем не менее, для тех, кто в танке, задача разрешима и методом интервалов.

Может ли функция быть положительно или отрицательной на всей числовой прямой? Конечно, в статье Область определения функции мы рассмотрели типовые примеры. В частности выяснили, что  (парабола, полностью лежащая в верхней полуплоскости). Метод интервалов проходит и тут! Рассматриваем единственный интервал , берём из него самую удобную точку  и выполняем подстановку: . А значит, функция положительна и в каждой точке интервала .

Перейдём к кубическим многочленам:

Пример 2

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение: снова придерживаемся алгоритма:

1) Функция определена на всей числовой прямой.

2) Найдём нули функции, то есть решим уравнение . Для этого выполним разложение на множители:

Таким образом, нули функции: .

3) Откладываем найденные значения на числовой прямой:
Откладываем на оси абсцисс нули функции
Теперь в каждом из четырёх полученных интервалов берём наиболее простую точку и находим значения функции в данных точках:

Таким образом:
Определяем знаки функции методом интервалов
Ответ:
, если ;
, если .

Вы можете не знать, как выглядит график функции , но уже, по крайне мере, понятно, где он выше оси , а где ниже.

Кубическая функция настолько распространена, что не удержусь от полного чертежа «молнии»:
График кубического многочлена

Казалось бы, решение можно упростить: взять левый интервал , выяснить, что на нём функция отрицательна, а дальше знаки будут чередоваться – «плюс», «минус», «плюс». Знакочередование бывает часто, но…

ЗНАКИ ЧЕРЕДУЮТСЯ ДАЛЕКО НЕ ВСЕГДА

Поэтому не ленимся – ТЕРПЕЛИВО рассматриваем КАЖДЫЙ интервал: из КАЖДОГО  интервала берём наиболее выгодную точку и выясняем знак функции в данной точке.

Вот простой пример, когда интервала два, но знакочередования нет: . Экспонента всегда положительна , квадрат неотрицателен , поэтому вся функция неотрицательна: , очевидно, достигая нуля в единственной точке . Такого решения будет вполне достаточно. Не обязательно чертить координатную ось! Обратите внимание, здесь есть тонкость при записи ответа:
, если .
То есть, функция положительна везде, кроме точки ноль.

Но формально можно использовать метод интервалов, который приведёт нас к такому же результату:
Функция неотрицательна на всей числовой прямой
Если честно, не помню, как выглядит чертёж, однако совершенно точно можно сказать, что график данной функции лежит в верхней полуплоскости и касается оси абсцисс в точке .

Или парабола, касающаяся оси, например: . Такая же история. Кстати, если вы внимательно изучили геометрические преобразования графиков, то сразу поймёте, как расположена данная парабола.

Следует отметить, что ситуация касания графика оси не единственна, в ряде случаев  функция не меняет знак при переходе через точку разрыва. Хороший пример встретился в статье Непрерывность функции: .

Пример 3

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Это пример для самостоятельного решения. После того, как определите знаки на интервалах, попытайтесь представить, как выглядит данная «молния». Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Функции с многочленами встречаются очень часто, поэтому имеет смысл рассмотреть ещё пару экземпляров:

Пример 4

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение:

1) Функция определена на всей числовой прямой.

2) Находим нули функции:

Таким образом, нули функции: .

3) Откладываем данные значения на оси абсцисс:
Нули многочлена 4-ой степени
Определим что можно сделать из старой майке знаки функции на полученных интервалах:

Таким образом:
Знаки на интервалах не обязаны чередоваться
Ответ:
, если ;
, если .

Читатели с высоким и средним уровнем подготовки могут укоротить процесс решения, используя чётность/нечётность функций, чайникам же рекомендую не торопиться и тщательно прорабатывать каждый пункт решения.

Функция-многочлен 4-й степени тоже достойна полного графика:
График многочлена четвёртой степени

Собрат для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти интервалы знакопостоянства функции.

В ходе выполнения задания потребуется решить так называемое биквадратное уравнение, которое также рассматривается в школьном курсе математики. В данном примере необходимо провести замену , разобраться с уравнением , найти корни  и на финише из равенств  получить 4 корня. Полное решение и ответ в конце урока.

Перейдём к обширной группе функций, у которых есть точки разрыва:

Пример 6

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение: вот здесь начинает в полную силу работать пункт №1 алгоритма:

1) Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки , которая обращает знаменатель в ноль.

2) Находим точки пресечения графика с осью  (нули функции):

Знаменатель нулевым быть не может, поэтому приравниваем к нулю числитель и решаем уравнение счастливого первоклассника:

3) Откладываем на оси абсцисс ВСЕ найденные точки, при этом выкалываем точку , так как она не входит  в область определения функции:
На оси OX необходимо отложить ВСЕ точки
Определим знаки функции на полученных интервалах:

В результате:
Находимо интервалы знакопостоянства, точка разрыва не меняет алгоритма
Ответ:
, если ;
, если .

Чем отличается данный пример от всех предыдущих? Да ничем особенным.

Напоминаю, что практически так же решается ряд смежных задач, например:

Решить неравенство
Ответ:

Решить неравенство
Ответ:

Найти область определения функции
Ответ:

И т.д.

Короткое разминочное задание для самостоятельного решения:

Пример 7

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Кстати, подобные вещи вполне реально решить мысленно! Попытайтесь найти интервалы знакопостоянства «в уме», тем более, вы ничем не рискуете – в конце урока есть готовый образец.

Рассмотрим более навороченные дробно-рациональные функции:

Пример 8

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение: далее пункты алгоритма нумеровать не будем.

Находим область определения функции. Проверим, обращается ли знаменатель в ноль:

Перепишем квадратное уравнение в привычном виде:

И для удобства сменим знаки у каждого слагаемого:

!!! Внимание: в САМОЙ ФУНКЦИИ так делать НЕЛЬЗЯ! В ней знак «минус» не пропадает: .

Дискриминант больше нуля, значит, уравнение имеет два действительных корня и в область определения не войдут две точки:

Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс: . Нулевым может быть только числитель, поэтому рассматриваем уравнение . Решение можно провести через дискриминант, однако нетрудно заметить, что у нас квадрат разности:

Таким образом, функция обращается в ноль в единственной точке:

Используя уже наработанный алгоритм, определим знаки функции на полученных интервалах:
Интервалы знакопостоянства дробно-рациональной функции
Ответ:
, если ;
, если .

Как выглядит график функции, знают немногие, но совершенно точно можно сказать, что на интервалах  он расположен ВЫШЕ оси , а на интервалах  – НИЖЕ данной оси. В точке  график, кстати, только касается её.

Пример 9

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Это пример для самостоятельного решения.

Заключительные примеры посвящены функциям, в которые входит натуральный логарифм:

Пример 10

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Просто и со вкусом.

Решение: функция определена и непрерывна на интервале . Найдём  точки пересечения графика с осью абсцисс:

Нулю может быть равен только числитель:

Согласно определению логарифма (которое нужно бы уже хорошо усвоить):

Отметим найденные точки на числовой прямой:
Анализ функции с корнем и логарифмом
На промежутке  функция не определена вообще. Об этом можно сделать пометку на чертеже либо просто оставить полуинтервал без внимания. Я обычно не ставлю никаких знаков.

Определим знаки на интервалах, которые входят в область определения функции:

Таким образом:
В область определения не входит целый промежуток, там нельзя определить знак функции
Ответ:
, если ;
, если .

На практике под логарифмом часто находится квадратный дву- или трёхчлен. Пожалуйста, ВНИМАТЕЛЬНО изучите оставшиеся примеры, в которых метод интервалов используется ДВАЖДЫ: первый раз для нахождения области определения, а второй раз для нахождения интервалов знакопостоянства.

Пример 11

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение: сначала найдём область определения функции. Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

Квадратичное неравенство решим методом интервалов. Проверим, существуют ли действительные корни соответствующего уравнения:

Да, уравнение имеет два действительных перца. Не нужно удивляться, что дискриминант получился «плохой», это довольно распространённый инцидент в ходе исследовании функций. Невозмутимо находим корни:

Откладываем найденные точки на числовой прямой. Их следует выколоть, поскольку неравенство строгое. Далее стандартно из каждого интервала выбираем наиболее простую точку, и определяем знаки функции  на полученных интервалах:
Находим область определения функции методом интервалов
Таким образом, область определения:

Что теперь? Теперь ЗАБЫВАЕМ про найденные знаки и интервалы знакопостоянства. Самый важный факт состоит в том, что отрезок   не входит в область определения функции .

На втором шаге находим точки пересечения графика с осью абсцисс (нули функции):

Решаем ещё одно квадратное уравнение:

Снова используем метод интервалов. Откладываем на числовой прямой ВСЕ найдённые ранее точки:
Всё, что накоплено за годы долгого труда
Тесновато получилось, но что делать, зато масштаб выдержан.

Определяем знаки функции на интервалах, при этом не забываем, что отрезок посередине не входит в область определения, и возиться с ним не надо! Но от этого, увы, не легче, так как подстановка будет брутальной. Придётся тыкать по клавишам калькулятора:

Таким образом:
Находим интервалы знакопостоянства функции тем же методом интервалов
Ответ:
, если ;
, если .

Что можно сказать о графике функции ? На отрезке  его не существует вообще, на крайних интервалах он расположен выше оси , на маленьких интервалах – ниже данной оси, точки пересечения с осью: .

Пример 12

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Это пример для самостоятельного изучения. На первом шаге решение можно ускорить – неравенство  значительно выгоднее решить аналитически, нежели использовать метод интервалов. Данный способ подробно рассмотрен на уроке Область определения функции.

Вот, пожалуй, и все основные задания по теме, которые встречаются на практике в ходе полного исследования функции. Хочется привести примеры сложнее, но они будут в известной степени надуманы.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение:
1) Функция определена на всей числовой прямой.
2) Найдём нули функции:

Таким образом: .
3) Определим знаки функции методом интервалов:

Ответ:
, если ;
, если .

Пример 5: Решение:
1) Функция определена на всей числовой прямой
2) Найдём нули функции:

Проведём замену:

3) Выполним чертёж и определим знаки функции на найденных интервалах:

Ответ:
, если ;
, если .

Пример 7: Решение:
1) Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки .
2) Найдём нули функции:

3) Определим знаки функции на полученных интервалах:

Ответ:
, если ;
, если .

Пример 9: Решение: точки  не входят в область определения функции.
График функции не пересекает ось , т.к.
Методом интервалов определим знаки функции:

Ответ:
, если ;
, если .

Пример 12: Решение: найдём область определения:

Таким образом,
Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс:

Определим знаки функции на полученных интервалах:

Ответ:
, если ;
, если .

Автор: Емелин Александр


Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как сделать вольер собак своими руками

Вам достались от старшего брата куча футболок? Или новый свитер растянулся так, что стал похож на тунику? А, может быть, вы, изрядно потрудившись, скинули 5 кило, и теперь все на вас висит, хоть выбрасывай? Или в гардеробе просто накопилось много.

Что можно сделать из старой майке

20 крутых идей, как превратить обычную футболку в стильный топ

Что можно сделать из старой майке

5 лайфхаков для хозяев кошек смотреть онлайн видео от Котик

Что можно сделать из старой майке

Как из старой одежды сделать новые стильные вещи: 35 идей с

Что можно сделать из старой майке

Она взяла старую футболку и просто разрезала ее на куски

Что можно сделать из старой майке

Украшения из старой футболки. Из старой майки бижутерия

Что можно сделать из старой майке

Что можно сделать из старой длинной майки - Поиск в Google

Что можно сделать из старой майке

Более 25 лучших идей на тему «Старые футболки» на Pinterest

Что можно сделать из старой майке

10 причин не выбрасывать старую одежду Женский журнал

Что можно сделать из старой майке

3000 идей переделки одежды из старой в стильную Look At Me

Что можно сделать из старой майке

15 замечательных идей по переделке старых футболок

Что можно сделать из старой майке

25 идей о том, как переделать футболку за 10 минут

Что можно сделать из старой майке

Переделка футболок своими руками (44 идеи)